一十二章 、流数术与无穷级数(2/3)
她做了一条直线y=1,与抛物线交🝦🍖于一个a点。这样,抛物线、直线、x轴三条线就围成了一个不规则的几何图形。
艾拉想要计算出这个不规则图形的面积。
她在抛物线上找出一个个点,分别垂直x轴与y轴做出两条线,以此把这个不规则图🅍形分成了一个个🝂🈓矩形。这些矩形🀶🁑🅉的面积加起来显然大于那个不规则图形的面积。然而,把这些矩形分的越细,他们的面积就会越接近于那个不规则图形。
艾拉假设从坐标轴原点到y=1这条直线之间分出了n个矩形🝊🇳,那么每个矩形的宽度就是1/n。又因为抛物线的函数🇻🝳式是y=x2,那么第一个矩形的高就是(1/n)2,第二个矩形的高度就是(2/n)2……
那么,所有矩形的面积之和就是:
s=1/n×(1/n)2⛬🝣🌻+1/n×(2/n)2+……+1/n×(n/n)2🅍
这是一🟆🚶🗹个无穷级数。然而,戈🈒♛🉃特弗里德曾经教过艾拉无穷多项式的平方和🔌⚱公式。在利用这个公式将这个无穷级数化简之后,她得到了一个极为简单的算式:
s=1🟆🚶🗹/3+1/🔐(2n)+1/(6🕚🎳n2)
n越大,矩形的面积和就越接近于那个不规则图形。那么当n无限大的😐🀞时候,矩形的面积之和s就会等于那个不规则图形的面积。此时,1/(2n)和1/(6n2)就是无限小,完全可以舍去。
于🖔是🝆🃯这个不规则图形的面积就显而易了:s=1/3。
——无限大、无限小
艾拉把刚刚出现的🔐这两个概念低声念了一遍。在数学运算中出现了🄂无限的概念,让她多少感到有些不适。
她甩甩头,把这🐃☷种不适感抛⛬🝣🌻到脑后,然后将函数式由y=🈵🂮x2改成了y=x3
虽然只是👰🌟轻微的改动,但要求出面积的难度立刻大了数倍。这次,艾拉写了整整👩两页纸,也没能向先前一样把公式化简。
“为什么👰🌟一涉及曲线🙽🏻🟑,就总是🈒♛🉃会出现无限啊!”
艾拉抛下笔,抱着头哀嚎了起来。
无限,这是所有数学家都难以跨越的深渊。
抛物线和圆都还只是最简单的曲线,只不过是从无限的深渊边探出来的一根小小的树枝。艾拉抓住了这根小树枝。可当继续下望时,⛉她看到的是更为恐怖的深渊——利用坐标轴和函数式,她找到了许许多多阿基米德根本无法描述的复杂曲线🉈。
她发现了它🄛🄛们,却根本无法驾驭它们。这仿佛是神明的一个警告:人啊,做你该做的事!
无限,这是人类绝对不能涉足的禁区。
“毕达哥拉斯学派的魔法也太难学了!”
艾拉想要计算出这个不规则图形的面积。
她在抛物线上找出一个个点,分别垂直x轴与y轴做出两条线,以此把这个不规则图🅍形分成了一个个🝂🈓矩形。这些矩形🀶🁑🅉的面积加起来显然大于那个不规则图形的面积。然而,把这些矩形分的越细,他们的面积就会越接近于那个不规则图形。
艾拉假设从坐标轴原点到y=1这条直线之间分出了n个矩形🝊🇳,那么每个矩形的宽度就是1/n。又因为抛物线的函数🇻🝳式是y=x2,那么第一个矩形的高就是(1/n)2,第二个矩形的高度就是(2/n)2……
那么,所有矩形的面积之和就是:
s=1/n×(1/n)2⛬🝣🌻+1/n×(2/n)2+……+1/n×(n/n)2🅍
这是一🟆🚶🗹个无穷级数。然而,戈🈒♛🉃特弗里德曾经教过艾拉无穷多项式的平方和🔌⚱公式。在利用这个公式将这个无穷级数化简之后,她得到了一个极为简单的算式:
s=1🟆🚶🗹/3+1/🔐(2n)+1/(6🕚🎳n2)
n越大,矩形的面积和就越接近于那个不规则图形。那么当n无限大的😐🀞时候,矩形的面积之和s就会等于那个不规则图形的面积。此时,1/(2n)和1/(6n2)就是无限小,完全可以舍去。
于🖔是🝆🃯这个不规则图形的面积就显而易了:s=1/3。
——无限大、无限小
艾拉把刚刚出现的🔐这两个概念低声念了一遍。在数学运算中出现了🄂无限的概念,让她多少感到有些不适。
她甩甩头,把这🐃☷种不适感抛⛬🝣🌻到脑后,然后将函数式由y=🈵🂮x2改成了y=x3
虽然只是👰🌟轻微的改动,但要求出面积的难度立刻大了数倍。这次,艾拉写了整整👩两页纸,也没能向先前一样把公式化简。
“为什么👰🌟一涉及曲线🙽🏻🟑,就总是🈒♛🉃会出现无限啊!”
艾拉抛下笔,抱着头哀嚎了起来。
无限,这是所有数学家都难以跨越的深渊。
抛物线和圆都还只是最简单的曲线,只不过是从无限的深渊边探出来的一根小小的树枝。艾拉抓住了这根小树枝。可当继续下望时,⛉她看到的是更为恐怖的深渊——利用坐标轴和函数式,她找到了许许多多阿基米德根本无法描述的复杂曲线🉈。
她发现了它🄛🄛们,却根本无法驾驭它们。这仿佛是神明的一个警告:人啊,做你该做的事!
无限,这是人类绝对不能涉足的禁区。
“毕达哥拉斯学派的魔法也太难学了!”